Question

如圖(1),△BCD內(nèi)接于直角梯形A₁A₂A₃D,已知沿△BCD三邊將△A₁BD、△A₂BC、△A₃CD翻折上去,恰好形成一個(gè)三棱錐ABCD，如圖（2）所示.

(1)求證:在三棱錐ABCD中，AB⊥CD；
(2)若直角梯形的上底A₁D=10，高A₁A₂=8，求翻折后三棱錐的側(cè)面ACD與底面BCD所成二面角θ的余弦值.

Answer 1

 
(1)證明:在直角梯形A₁A₂A₃D中,
A₁D⊥A₁B,A₂C⊥A₂B,
翻折成三棱錐后仍有AB⊥AD,AB⊥AC,
∴AB⊥平面ACD.
又平面ACD,∴AB⊥CD.
(2)解:由題設(shè)可知,B、C必是A₁A₂、A₂A₃的中點(diǎn),A₁D=A₃D.
∴A₁D=A₃D=10,A₁B=A₂B=4.

過(guò)D作DE⊥A₂A₃,垂足為E,得DE=8.
在Rt△DEA₃中,得EA₃=6,
∴A₂A₃=16.
于是A₂C=CA₃=8，CE=2.
不難得到S_△BCD=36,S_△CDA=32.
∵AB⊥平面ACD,
由面積射影定理得.
故側(cè)面ACD與底面BCD所成二面角θ的余弦值為.

空間直線和平面