Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=（x-a）²+1．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）+f（2x+3）≥5；
（Ⅱ）對(duì)任意x≠a，若$\frac{f（x）}{g（x）}$＜m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，利用絕對(duì)值的幾何意義，分類討論，即可解不等式f（x）+f（2x+3）≥5；
（Ⅱ）設(shè)x-a=t（t≠0），則$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{|t|}{{t}^{2}+1}$=$\frac{1}{|t|+\frac{1}{|t|}}$≤$\frac{1}{2}$，即可求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）+f（2x+3）≥5，可化為|x-1|+|2x+2|≥5，
x＜-1時(shí)，-x+1-2x-2≥5，解得x≤-2，∴x≤-2；
-1≤x≤1時(shí)，-x+1+2x+2≥5，解得x≥2，∴無解；
x＞1時(shí)，x-1+2x+2≥5，解得x≥$\frac{4}{3}$，∴x≥$\frac{4}{3}$；
∴不等式的解集為{x|x≤-2或x≥$\frac{4}{3}$}；
（Ⅱ）設(shè)x-a=t（t≠0），則$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{|t|}{{t}^{2}+1}$=$\frac{1}{|t|+\frac{1}{|t|}}$≤$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{f（x）}{g（x）}$＜m恒成立，∴m＞$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值的幾何意義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．