Question

已知f（x）=（+）²（x≥0），又?jǐn)?shù)列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式S_n（n∈N^*）對(duì)所有大于1的自然數(shù)n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（n∈N^*），求證（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于已知條件給出的是S_n與S_n-1的函數(shù)關(guān)系，而要求的是a_n的通項(xiàng)公式，故關(guān)鍵是確定S_n．知道S_n后，能夠?qū)С鰯?shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n==1+-，知b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-．從而能夠?qū)С?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213657041754594/SYS201310232136570417545017_DA/4.png">（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．
解答：解：（1）∵f（x）=（+）²，
∴S_n=（+）²．
∴-=．又=，
故有=+（n-1）=n，
即S_n=2n²（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2；
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，適合a_n=4n-2．
因此，a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）∵b_n==1+-，
∴b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-．
從而（b₁+b₂++b_n-n）=（1-）=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．