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10.如圖,在三棱錐S-ABC中,SC⊥平面ABC,SC=3,AC⊥BC,CE=2EB=2,AC=32,CD=ED.
(Ⅰ)求證:DE⊥平面SCD;
(Ⅱ)求二面角A-SD-C的余弦值;
(Ⅲ)求點A到平面SCD的距離.

分析 (Ⅰ)建立坐標系,求出向量的坐標,得到DE⊥CD,DE⊥CS,求出線面垂直即可;
(Ⅱ)設(shè)平面SAD的法向量為n=(x,y,z),求出一個法向量,代入余弦公式即可求出余弦值;
(Ⅲ)作AH⊥平面SCD,垂足為H,求出AH的坐標,從而求出點A到平面SCD的距離.

解答 解:如圖示:

以C為原點建立空間直角坐標系,
由題意得:A(32,0,0),C(0,0,0),D(1,1,0),E(0,2,0),S(0,0,3),
(Ⅰ)證明:∵DE=(-1,1,0),CD=(1,1,0),CS=(0,0,3),
DECD=-1+1+0=0,DECS=0+0+0=0,
即DE⊥CD,DE⊥CS,
∵CD∩CS=C,
∴DE⊥平面SCD;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得DE=(-1,1,0)為平面SCD的一個法向量,
設(shè)平面SAD的法向量為n=(x,y,z),
AD=(-12,1,0),AS=(-32,0,3),
{nAD=0nAS=0,即{12x+y=032x+3z=0,
不妨設(shè)x=2,可得n=(2,1,1),
易知二面角A-SD-C為銳角,
因此有|cos<DEn>|=|2+1+026|=36,
即二面角A-SD-C的余弦值是36
(Ⅲ)解:AC=(-32,0,0),AD=(-12,1,0),AS=(-32,0,3),
作AH⊥平面SCD,垂足為H,
設(shè)AH=xAC+yAD+zAS=(-32x-12y-32z,y,3z),且x+y+z=1,
AHCDAHCS,得:
{32x12y32z+y=09z=0x+y+z=1,解得{x=14y=34z=0,
AH=(-34,34,0),|AH|=324
即點A到平面SCD的距離是324

點評 本題考查了線面垂直,考查平面的法向量,點到平面的距離,是一道中檔題.

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