分析 (Ⅰ)建立坐標系,求出向量的坐標,得到DE⊥CD,DE⊥CS,求出線面垂直即可;
(Ⅱ)設(shè)平面SAD的法向量為→n=(x,y,z),求出一個法向量,代入余弦公式即可求出余弦值;
(Ⅲ)作AH⊥平面SCD,垂足為H,求出→AH的坐標,從而求出點A到平面SCD的距離.
解答 解:如圖示:,
以C為原點建立空間直角坐標系,
由題意得:A(32,0,0),C(0,0,0),D(1,1,0),E(0,2,0),S(0,0,3),
(Ⅰ)證明:∵→DE=(-1,1,0),→CD=(1,1,0),→CS=(0,0,3),
∴→DE•→CD=-1+1+0=0,→DE•→CS=0+0+0=0,
即DE⊥CD,DE⊥CS,
∵CD∩CS=C,
∴DE⊥平面SCD;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得→DE=(-1,1,0)為平面SCD的一個法向量,
設(shè)平面SAD的法向量為→n=(x,y,z),
而→AD=(-12,1,0),→AS=(-32,0,3),
則{→n•→AD=0→n•→AS=0,即{−12x+y=0−32x+3z=0,
不妨設(shè)x=2,可得→n=(2,1,1),
易知二面角A-SD-C為銳角,
因此有|cos<→DE,→n>|=|−2+1+0√2•√6|=√36,
即二面角A-SD-C的余弦值是√36;
(Ⅲ)解:→AC=(-32,0,0),→AD=(-12,1,0),→AS=(-32,0,3),
作AH⊥平面SCD,垂足為H,
設(shè)→AH=x→AC+y→AD+z→AS=(-32x-12y-32z,y,3z),且x+y+z=1,
由→AH⊥→CD,→AH⊥→CS,得:
{−32x−12y−32z+y=09z=0x+y+z=1,解得{x=14y=34z=0,
∴→AH=(-34,34,0),|→AH|=3√24,
即點A到平面SCD的距離是3√24.
點評 本題考查了線面垂直,考查平面的法向量,點到平面的距離,是一道中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 不存在x∈R,2x4-x2+1<0 | B. | 存在x∈R,2x4-x2+1<0 | ||
C. | 對任意的x∈R,2x4-x2+1≥0 | D. | 存在x∈R,2x4-x2+1≥0 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -ln2-1 | B. | -1+ln2 | C. | -ln2 | D. | ln2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | a≤1 | B. | -13≤a≤1 | C. | a>1 | D. | a≥-13 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 540種 | B. | 270種 | C. | 180種 | D. | 90種 |
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