Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）若函數(shù)F（x）=mf（x）+3x-2x²在x=1處取得極值，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設函數(shù)G（x）=f（x）+

2a(1-x)

1+x

，若對任意x∈（0，1），都有G（x）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為函數(shù)一個極值點已知，令f′（x）=0，把x=1代入求出m，再利用函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，f′（x）大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可；
（2）先把問題轉(zhuǎn)化為m（x）=x²+（2-4a）x+1＜0對x∈（0，1）恒成立，再把m（x）=x²+（2-4a）x+1看成x的二次函數(shù)，找到m（x）＜0恒成立的條件，解之即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)F（x）=mlnx+3x-2x²，其定義域為（0，+∞）
F'（x）=

-4x2+3x+m

x

 由 F'（1）=0 得：m=1    …（2分）
∴F'（x）=

-4x2+3x+1

x

=

-(4x+1)(x-1)

x

當x∈（0，1），F(xiàn)'（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，
當x∈（1，+∞），F(xiàn)'（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）；函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）…（6分）
（2）∵G'（x）=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

               …（7分）
設m（x）=x²+（2-4a）x+1，方程m（x）=0的判別式△=16a（a-1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，G'（x）≥0，G'（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
又G（1）=0，所以x∈（0，1），G（x）＜0．…（9分）
若a∈（1，+∞），∵△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，
∴g（x）在（0，1）上不是單調(diào)函數(shù)．
所以存在x₀∈（0，1），使得m（x₀）=0，對任意x∈（x₀，1），m（x）＜0，
即G'（x）＜0，G（x）在（x₀，1）上是減函數(shù)，
又G（1）=0，所以x∈（x₀，1），G（x）＜0．不合題意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（0，1]…（12分）

點評：考查函數(shù)在某點取得極值的條件、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．