Question

已知函數(shù)f（x）=3sin（

1

2

x+

π

4

）-1，x∈R，求：
（1）函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)自變量x的取值集合；
（2）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)f（x）=3sin（

1

2

x+

π

4

）-1的圖象？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用正弦函數(shù)的最值，求得函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)自變量x的取值集合．
（2）由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的最小值是3×（-1）-1=-4，
此時(shí)有

1

2

x+

π

4

=2kπ-

π

2

，解得x=4kπ-

3π

2

（k∈Z），
即函數(shù)f（x）的最小值是-4，此時(shí)自變量x的取值集合是{x|x=4kπ-

3π

2

，k∈Z}．
（2）步驟是：
①將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin（x+

π

4

）的圖象；
②將函數(shù)y=sin（x+

π

4

）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)y=sin（

1

2

x+

π

4

）的圖象；
③將函數(shù)y=sin（

1

2

x+

π

4

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)y=3sin（

1

2

x+

π

4

）的圖象；
④將函數(shù)y=3sin（

1

2

x+

π

4

）的圖象向下平移1個(gè)單位長度，得函數(shù)y=3sin（

1

2

x+

π

4

）-1的圖象．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦函數(shù)的最值，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．