Question

12．已知F₁、F₂是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 先設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a₁，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)a₂，焦距2c．因?yàn)樯婕皺E圓及雙曲線離心率的問(wèn)題，所以需要找a₁，a₂，c之間的關(guān)系，而根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根據(jù)余弦定理可得到$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a₁，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a₂，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：
|PF₁|+|PF₂|=2a₁，|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
設(shè)|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²-2（a₁+a₂）（a₁-a₂）cos$\frac{π}{3}$
∴化簡(jiǎn)得：a₁²+3a₂²=4c²
$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，又因?yàn)?\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}≥2\frac{\sqrt{3}}{{e}_{1}{e}_{2}}$，∴e₁e₂≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)來(lái)，屬于難題．