Question

3．已知點A（-1，0），B（1，0），若圓x²+y²-8x-6y+25-m=0上存在點P使$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，則m的最小值為16．

Answer 1

分析 設(shè)P（4+$\sqrt{m}$cosθ，3+$\sqrt{m}$sinθ），由圓x²+y²-8x-6y+25-m=0上存在點P使$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，得到$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=24+m+10$\sqrt{m}$sin（θ+φ）=0，從而m-10$\sqrt{m}$+24=0，由此能求出m的最小值．

解答 解：∵圓x²+y²-8x-6y+25-m=0的圓心C（4，3），半徑r=$\sqrt{m}$，
A（-1，0），B（1，0），
∴設(shè)P（4+$\sqrt{m}$cosθ，3+$\sqrt{m}$sinθ），
則$\overrightarrow{PA}$=（-5-$\sqrt{m}$cosθ，-3-$\sqrt{m}sinθ$），$\overrightarrow{PB}$=（-3-$\sqrt{m}$cosθ，-3-$\sqrt{m}sinθ$），
∵圓x²+y²-8x-6y+25-m=0上存在點P使$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=15+8$\sqrt{m}$cosθ+mcos²θ+9+6$\sqrt{m}$sinθ+msin²θ
=24+m+10$\sqrt{m}$sin（θ+φ）=0，
∴m-10$\sqrt{m}$+24=0，解得m=36或m=16．
∴m的最小值為16．
故答案為：16．

點評 本題考查實數(shù)值的最小值的求法，考查直線方程、圓的參數(shù)方程、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．