已知直線過點且與拋物線交于A、B兩點，以弦AB為直徑的圓恒過坐標原點O.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)設是直線上任意一點，求證：直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數(shù)列.

 

【答案】

(1) (2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)設直線方程為，代入得

設 ，，則有,而 ,

故

即，得，所以拋物線方程為;

(2)由是直線上任意一點，可設 由(1)知 ， ，

∴= , ∵ ==，

==，

+=+=

= = == =，有等差中項的性質(zhì)可知直線QA、QP、QB的斜率依次成等差數(shù)列.

試題解析：(1)設直線方程為，代入得

設 ，，則有 2分

而 ,

故

即，得，所以拋物線方程為 6分

說明：取過M 點的特殊位置的直線求得拋物線的方程給滿分.

(2)設 由(1)知 ， ，

∴= , ∵ ==，

==， 9分

+=+=

=

= == = 12分

所以直線QA、QP、QB的斜率依次成等差數(shù)列. 13分

考點：1.拋物線的方程；2.直線與拋物線的位置關系.

 

練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P（m，4）到其準線的距離等于5．
（I）求拋物線G的方程；
（II）如圖，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x2+（y-1）2=1交于A、C、D、B四點，試證明|AC|•|BD|為定值；
（III）過A、B分別作拋物G的切線l1，l2且l1，l2交于點M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

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（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;
 
（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點M,求與面積之和的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;

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