Question

（本小題滿分13分）
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

（1）求雙曲線的離心率；
（2）如圖，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)  ;(2)存在

試題分析：(1) 已知雙曲線的兩條漸近線分別為,所以根據(jù)即可求得結(jié)論.
(2)首先分類討論直線的位置.由直線垂直于x軸可得到一個結(jié)論.再討論直線不垂直于x軸,由的面積恒為8,則轉(zhuǎn)化為.由直線與雙曲線方程聯(lián)立以及韋達定理,即可得到直線有且只有一個公共點.
試題解析：(1)因為雙曲線E的漸近線分別為和.所以,從而雙曲線E的離心率.
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為.設(shè)直線與x軸相交于點C.
當軸時,若直線與雙曲線E有且只有一個公共點,則,又因為的面積為8,所以.此時雙曲線E的方程為.
若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為.以下證明:當直線不與x軸垂直時，雙曲線E：也滿足條件.
設(shè)直線的方程為,依題意,得k>2或k<-2.則，記.由,得,同理得.由得, 即.
由得, .因為,所以,又因為.所以,即與雙曲線E有且只有一個公共點.
因此,存在總與有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為.