Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，點（a_n，a_n+1+1）在函數f（x）=2x+1的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）設Cn=

n

Sn+1

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）：將點（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）代入函數f（x）=2x+1的解析式，整理后發(fā)現{a_n}是公比為2的等比數列，通項公式可求：a_n=2^n-1
（2）由a_n=2^n-1（n∈N^*），知a₁=1，q=2，由此能求出數列{a_n}的前n項和S_n．
（3）由Cn=

n

Sn+1

=

n

2n

，知T_n=

1

2

+

2

2 2

+

3

2 3

+…+

n-1

2 n-1

+

n

2 n

，由此利用錯位相減法能夠求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）在函數f（x）=2x+1的圖象上
則a_n+1+1=2a_n+1（n∈N^*）有a_n+1=2a_n
∵a₁=1，
∴a_n≠0，
∴

an+1

an

=2
∴{a_n}是公比為2的等比數列，通項公式為a_n=2^n-1（n∈N^*）
（2）∵a_n=2^n-1（n∈N^*），
∴a₁=1，q=2，
Sn=

1×(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1．（n∈N^*）．
（3）∵Cn=

n

Sn+1

=

n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

2

2 2

+

3

2 3

+…+

n-1

2 n-1

+

n

2 n

，①

1

2

T_n=

1

2 2

+

2

2 3

+

3

2 4

+…+

n-1

2 n

+

n

2 n

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n

-

n

2n

=

1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

-

n

2 n

，
∴T_n=2-

2+2n

2 n

．

點評：本題主要考查等比數列的判定，性質和數列的求和．對于一些特殊數列的求和可利用錯位相減法、裂項法等方法來解決．