Question

2．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=ln（x²-ax+a）的定義域為實數(shù)集R，命題q：a≤x+$\frac{1}{x}$對任意正實數(shù)x恒成立，若復(fù)合命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：函數(shù)f（x）=ln（x²-ax+a）的定義域為實數(shù)集R，可得△＜0．命題q：由于a≤x+$\frac{1}{x}$對任意正實數(shù)x恒成立，可得a≤$（x+\frac{1}{x}）_{min}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．若復(fù)合命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，則p與q必然一真一假．即可得出．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=ln（x²-ax+a）的定義域為實數(shù)集R，∴△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4．
命題q：∵x＞0，∴$x+\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，由于a≤x+$\frac{1}{x}$對任意正實數(shù)x恒成立，
∴a≤$（x+\frac{1}{x}）_{min}$=2，∴a≤2．
若復(fù)合命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，
則p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜4}\\{a＞2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥4}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
解得2＜a＜4，a≤0．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪（2，4）．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．