Question

已知⊙O的圓心為原點，與直線x+3y+10=0相切，⊙M的方程為（x-8）²+（y-6）²=4，過⊙M上任一點P作⊙O的切線PA、PB，切點為A、B．
（1）求⊙O的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點為Q，當(dāng)弦PQ最大時，求直線PA的直線方程；
（3）求

OA

•

OB

的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用⊙O的圓心為原點，與直線x+3y+10=0相切，求出圓的半徑，從而可得⊙O的方程；
（2）由題可知當(dāng)直線PA過圓M的圓心（8，6）時，弦PQ最大，從而可設(shè)直線PA的方程，利用PA與圓O相切，可得圓心（0，0）到直線PA的距離為

10

，進而可求直線PA的方程；
（3）

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cos∠AOB=

200

OP2

-10，利用|OP|的最大與直線，可求求

OA

•

OB

的最大值與最小值．

解答：解：（1）∵⊙O的圓心為原點，與直線x+3y+10=0相切
∴圓心到直線的距離等于半徑r=

10

10

=

10

∴⊙O的方程為x²+y²=10（4分）
（2）由題可知當(dāng)直線PA過圓M的圓心（8，6）時，弦PQ最大
因為直線PA的斜率一定存在，設(shè)直線PA的方程為：y-6=k（x-8）
又因為PA與圓O相切，所以圓心（0，0）到直線PA的距離為

10

即

|8k-6|

1+k2

=

10

，可得k=

1

3

k=

13

9

所以直線PA的方程為：x-3y+10=0或13x-9y-50=0     （10分）
（3）設(shè)∠AOP=α，則∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α
∴cos∠AOB=2cos²α-1=

20

OP2

-1
∴

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cos∠AOB=

200

OP2

-10
∵|OP|_max=10+2=12，|OP|_min=10-2=8
∴（

OA

•

OB

）_max=-

55

8

，（

OA

•

OB

）_min=--

155

18

（16分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑是解題的關(guān)鍵．