Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求f（x）的最大值為M；
（2）若對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范圍；
（3）若對于x∈[1，3]，f（x）＞-5+b恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知得f(x)=(x+

a

2

)2-

a2

4

+b，對稱軸為直線x=-

a

2

，由此能求出f（x）的最大值為M．
（2）由已知得x²+（a-2）x+b-a＞0，從而△=（a-2）²-4（b-a）＜0恒成立，由此能求出b的取值范圍．
（3）由已知得a＞

-x2-5

x

，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），
∴f(x)=(x+

a

2

)2-

a2

4

+b，對稱軸為直線x=-

a

2

，
∴當(dāng)a＜0時(shí)，M=f（-1）=1-a+b；
當(dāng)a≥0時(shí)，M=f（1）=1+a+b．…（5分）
（2）對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥2x+a，
即對任意的實(shí)數(shù)x，都有x²+ax+b≥2x+a，
整理得x²+（a-2）x+b-a＞0，
∴△=（a-2）²-4（b-a）＜0恒成立，b＞

a2+4

4

≥1，
∴b∈[1，+∞）．…（10分）
（3）依題意，即對于x∈[1，3]，x²+ax+b＞-5+b恒成立，
即分離參數(shù)為a＞

-x2-5

x

，
∵

-x2-5

x

=-(x+

5

x

)≤-2

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

5

時(shí)，取“=”號，
∴a的取值范圍為（-2

5

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．