設函數(shù)定義域為R，當x<0時，f(x)>1，且對于任意的x∈R，有f(x + y)=f(x)•f(y)成立.數(shù)列{an}滿足a1=f(0)，且f()=.問：是否存在正數(shù)k，使(1+均成立，若存在，求出k的最大值并證明，否則說明理由.

解：令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)•f(0),

∵-1<0, ∴f(-1)>1, ∴f(0)=1,

∵f(0)=f(x)f(-x)  ∴f(x)>0  

設x1<x2  ∵x1-x2<0 ∴f(x1-x2)>1  

∴f(x1)=f(x1-x2)f(x2)  

∴f(x1)>f(x2)

∴f(x)是R上的減函數(shù).

由,

∴

又∵a1=f(0)=1.  

∴{an}是等差數(shù)列，其首項為1，公差為d=2.∴an=2n-1.

∴存在正數(shù)k，使成立.

設

∴F(n)單調(diào)遞增. ∴F(1)為F(n)的最小值.

由F(n)≥k恒成立. ∴k≤

∴k的最大值為

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

奇函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當x≥0時，f（x）=2x-x2，設函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]的值域為[
1
b
，
1
a
]，則b的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．數(shù)列{an}滿足a1=f（0），且 f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ） 求f（0）的值；
（Ⅱ） 求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ） 是否存在正數(shù)k，使(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
對一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值，并證明，否則說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（附加題）設函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0），判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（ 2 ）數(shù)列{an}滿足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(-2-an)
（n∈N*）
A．求數(shù)列{an}的通項公式；
B．令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+b3+…bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，試比較Sn與
2
3
Tn的大小，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•營口二模）設函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對于任意的實數(shù)x，y都有 f（x+y）=f（x）•f（y）成立，
（1）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=f(0)，f(an+1)=
1
f(-2-an)
，(n∈N+)，求{an}的通項公式；
（3）如果f(1)=
1
2
，bn=lgf（an），求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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