Question

18．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，$∠BCD=\frac{2π}{3}$，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．
（1）求證：EF⊥平面BCF；
（2）點(diǎn)M在線段EF（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD中，通過AD=CD=BC=1，求出AB=2，通過AB²=AC²+BC²．證明BC⊥AC，證明AC⊥CF，推出AC⊥平面BCF，即可證明EF⊥平面BCF．
（I2）由（I）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面MAB的一個(gè)法向量，求出平面FCB的一個(gè)法向量，通過向量的數(shù)量積，推出平面MAB與平面FCB所成二面角，然后求解二面角的余弦值．

解答 解：（1）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=CD=BC=1，
又∵$∠BCD=\frac{2π}{3}$，∴AB=2，∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3．…（2分）
∴AB²=AC²+BC²．∴BC⊥AC．…（3分）
∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥CF，…（4分）  
 而CF∩BC=C，
∴AC⊥平面BCF．…（5分）
∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF．…（6分）
（2）由（1）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
令FM=λ（$0≤λ≤\sqrt{3}$），則C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），…（7分）
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（λ，-1，1），
設(shè)$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$為平面MAB的一個(gè)法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y=0\\ λx-y+z=0\end{array}\right.$取x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}-λ$），…（9分）
∵$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面FCB的一個(gè)法向量，

∴$cosθ=\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{1+3+（\sqrt{3}-λ）^{2}×1}}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\sqrt{3}）^{2}+4}}$．
∵$0≤λ≤\sqrt{3}$，∴當(dāng)λ=0時(shí)，cosθ有最小值$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，…（12分）
∴點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí)，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．