Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*且n＞1，若λ≥S_n+1-4S_n恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出a_n=4^n-1+n，S_n=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

，S_n+1=

4n+1-1

3

+

(n+2)(n+1)

2

，從而S_n+1-4S_n=-

1

2

（3n²+n-4），n=1，最大值為0．由此能求出實數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：由題設(shè)a _n+1=4a_n-3n+1，得
a _n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N*．
又a₁-1=1，所以數(shù)列{a_n-n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列．
a_n-n=4 ^n-1，于是數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4^n-1+n．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

，
S_n+1=

4n+1-1

3

+

(n+2)(n+1)

2

∴S_n+1-4S_n=-

1

2

（3n²+n-4），
∴n=1，最大值為0．
∵λ≥S_n+1-4S_n恒成立，
∴λ≥0，
∴實數(shù)λ的取值范圍為[0，+∞）．
故答案為：[0，+∞）．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．