Question

已知f（x+1）=x²-4，等差數(shù)列{a_n}中，a₁=f（x-1），a₂=-

3

2

，a₃=f（x）
（1）求x的值和數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求a₂+a₅+a₈+…+a₂₆的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)所給的函數(shù)式f（x+1）=x²-4，求出f（x）的表達式，則可寫出數(shù)列的第二項和第三項，根據(jù)等差數(shù)列特點求出x的值，寫出通項，
（2）從等差數(shù)列中取出的這幾項仍組成等差數(shù)列，算出項數(shù)，用等差數(shù)列前n項和公式得到結(jié)果．

解答：（1）∵f（x+1）=（x+1-1）²-4，∴f（x）=（x-1）²-4
∴a₁=f（x-1）=（x-2）²-4，a₃=（x-1）²-4．
又a₁+a₃=2a₂，∴x=0，或x=3，
∴a₁，a₂，a₃分別是0，-

3

2

，-3或-3，-

3

2

，0．
∴an=-

3

2

(n-1)或an=

3

2

(n-3)
（2）∵從數(shù)列中取出的這幾項仍是等差數(shù)列，
∴當an=-

3

2

(n-1)時，
a2+a5+a8+…+a26=

9

2

[-

3

2

-

3

2

(26-1)]
=-

351

2

，
當an=

3

2

(n-3)時，
a₂+a₅+…+a₂₆
=

9

2

(-

3

2

-

9

2

+39)
=

297

2

．

點評：等差數(shù)列可以通過每隔相同個數(shù)的項取一個構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造出一個新的等差數(shù)列數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式．這類問題考查學(xué)生的靈活性，考查學(xué)生分析問題及運用知識解決問題的能力，這是一種化歸能力的體現(xiàn)．