Question

甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為

1

4

，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為

1

12

，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為

2

9

．
（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）若讓每臺機床各自加工2個零件（共計6個零件），求恰好有3個零件是一等品的概率．

Answer 1

分析：（I）利用甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為

1

4

，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為

1

12

，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為

2

9

，建立方程組，求出甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率，即可求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）分類討論求概率，即可求恰好有3個零件是一等品的概率．

解答：解：（Ⅰ）設“甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品”分別為A、B、C事件，則A、B、C相互獨立，則

P(A• . B )= 1 4 P(B• . C )= 1 12 P(A•C)= 2 9

⇒

P(A)•[1-P(B)]= 1 4 …(1) P(B)[1-P(C)]= 1 12 …(2) P(A)•P(C)= 2 9 …(3)

…..（1分）

由(1)(3)得P(B)=1- 9 8 P(C)， 代入(2)得27[P(C)]2-51P(C)+22=0，解得P(C)= 2 3 ，或P(C)= 11 9 (舍去)； ∴P(A)= 1 3 ，P(B)= 1 4

即甲乙丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率分別為

1

3

，

1

4

，

2

3

．…（3分）
（Ⅱ）（1）設甲有0個一等品的概率為P₁，則P1=(

2

3

)2[(

1

4

)2•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(

2

3

)2]=

7

81

…（2分）
（2）設甲有1個一等品的概率為P₂，則P2=

C

1 2

1

3

•

2

3

[(

1

4

)2•(

1

3

)2+(

3

4

)2•(

2

3

)2+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

]=

61

324

…（2分）
（3）設甲有2個一等品的概率為P₃，則P3=(

1

3

)2•[

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(

1

3

)2+(

3

4

)2•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

]=

21

648

…（2分）
所以，所求事件“恰好有三個零件是一等品”的概率為P=P1+P2+P3=

7

81

+

61

324

+

21

648

=

199

648

…（1分）

點評：本題考查概率的計算，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．