Question

6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，sin（B-C）=4cosBsinC，則$\frac{c}$等于（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$+1
• B． 2$\sqrt{2}$-1
• C． $\sqrt{6}$+1
• D． $\sqrt{6}$-1

Answer 1

分析 由2sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，運用三角函數(shù)公式求出A，sin（B-C）和與差公式打開，再由正余弦弦定理，即可得$\frac{c}$的值

解答 解：由2sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
可得：sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{2π}{3}$．
又∵sin（B-C）=sinBcosC-sinCcosB=4cosBsinC，
可得：sinBcosC=5cosBsinC．
得：sinBcosC+cosBsinC=6cosBsinC．
即sinA=6cosBsinC．
∴由正弦弦定理：得a=2c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$．
得2a²+3c²-3b²=0，即${a}^{2}=\frac{3}{2}（^{2}+{c}^{2}）$
由余弦弦定理：a²=b²+c²-2bc×cos（120°）=b²+c²+bc．
∴b²-2bc-5c²=0，
同時除以bc．
可得：$（\frac{c}）^{2}-2×\frac{c}-5=0$．
解得：$\frac{c}$=$\sqrt{6}+1$．
故選：C．

點評 本題考查三角形的余正弦定理和內角和定理以及和與差的運用，考查運算能力，屬于中檔題．