Question

（1）若函數(shù)y=log₂（ax²+2x+1）的定義域為R，求a的范圍；
（2）若函數(shù)y=log₂（ax²+2x+1）的值域為R，求a的范圍．

Answer 1

解：（1）若函數(shù)y=log₂（ax²+2x+1）的定義域為R，∴ax²+2x+1＞0恒成立，
故有 a＞0，且△=4-4a＜0，解得 a＞1，
故所求的a的范圍為（1，+∞）．
（2）若函數(shù)y=log₂（ax²+2x+1）的值域為R，故函數(shù)y=ax²+2x+1能取遍所有的正數(shù)．
當a=0時，函數(shù)y=log₂（ax²+2x+1）=log₂（2x+1），滿足它的值域為R．
當a＞0時，應(yīng)有△=4-4a≥0，解得 0＜a≤1．
綜上可得，故所求的a的范圍為[0，1]．
分析：（1）由題意可得ax²+2x+1＞0恒成立，故有 a＞0，且△=4-4a＜0，由此求得a的范圍．
（2）由題意可得函數(shù)y=ax²+2x+1能取遍所有的正數(shù)．當a=0時，滿足條件．當a＞0時，應(yīng)有△=4-4a≥0，
由此解得a的范圍，綜合可得結(jié)論．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．