Question

20．方程（a²+1）x²-2ax-3=0的兩根x₁，x₂滿足|x₂|＜x₁（1-x₁），且0＜x₁＜1，則實數(shù)a的取值范圍為$a∈（-\frac{3}{2}，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 根據(jù)方程根的個數(shù)與判別式之間的關(guān)系證明△＞0恒成立，由題意判斷出另一個根的范圍，再由f（1）＞0求出a的范圍，利用f（0）＜0進一步確定兩個根的關(guān)系，再由韋達定理求出a范圍，再取交集．

解答 解：∵|x₂|＜x₁（1-x₂），∴x₁（1-x₂）＞0，
又∵0＜x₁＜1，∴x₂＜1
設(shè)f（x）=（a²+1）x²-2ax-3，∵方程有兩根，∴△=4a²+12（a²+1）＞0恒成立，
則f（1）=a²-2a-2＞0，解得a＞1+$\sqrt{3}$或a＜1-$\sqrt{3}$；
∵f（0）=-3，
∴x₂＜0＜x₁＜1，
則|x₂|＜x₁（1-x₂）可化簡為：x₁+x₂＞x₁x₂，
利用韋達定理得$\frac{2a}{{a}^{2}+1}$＞-$\frac{3}{{a}^{2}+1}$，
解得a＞-$\frac{3}{2}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是：（-$\frac{3}{2}$，1-$\sqrt{3}$）∪（1+$\sqrt{3}$，+∞）
故答案為：$a∈（-\frac{3}{2}，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，+∞）$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．