Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求該函數的定義域；

（2）當時，如果對任何都成立，求實數的取值范圍；

（3）若，將函數的圖像沿軸方向平移，得到一個偶函數的圖像，設函數的最大值為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）最小值為1.

【解析】

（1）解真數大于0的不等式即可；

（2）通過分離參數，將問題轉化為恒成立問題，進而求得a的取值范圍；

（3）先設出平移t個單位，再根據g（x）為偶函數得，然后根據對數函數的單調性求得h（a），最后由基本不等式求得h（a）的最小值。

（1）a=-1時，f（x）=log2（ax2+2x-a）=log2（-x2+2x+1），

解-x2+2x+1＞0得

所以函數的定義域為

（2） 當a≤0時，f（x）≥1即log2（ax2+2x-a）≥1，

即ax2+2x-a-2≥0對任何x∈[2，3]都成立，

則

令，因為當x∈[2，3]時是單調遞增函數

所以

所以，又因為

所以a的取值范圍為

（3）當a＜0時，設將f（x）的圖象沿x軸方向平移t個單位得到g（x）的圖象，

則g（x）=[a（x+t）2+2（x+t）-a]=[ax2+（2at+2）x+at2+2t-a]，

因為g（x）為偶函數，所以g（-x）=g（x），

則[ax2-（2at+2）x+at2+2t-a]=[ax2+（2at+2）x+at2+2t-a]，

所以2at+2=0，所以

所以

因為a＜0所以x=0時，

因為此時，解得

所以

即的最小值為1