Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$，g（x）=$\frac{x}{e^x}$，對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}$≤$\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是$k≥\frac{1}{2e-1}$．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求出函數(shù)f（x）的最小值，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)g（x）的最大值，利用最值關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}$≤$\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立，
則等價(jià)為$\frac{g（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$≤$\frac{k}{k+1}$恒成立，
f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=1時(shí)取等號(hào)，即f（x）的最小值是2，
由g（x）=$\frac{x}{e^x}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
由g′（x）＞0得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
由g′（x）＜0得x＞1，此時(shí)函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
即當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值同時(shí)也是最大值g（1）=$\frac{1}{e}$，
則$\frac{g（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$的最大值為$\frac{\frac{1}{e}}{2}$=$\frac{1}{2e}$，
則由$\frac{k}{k+1}$≥$\frac{1}{2e}$，
得2ek≥k+1，
即k（2e-1）≥1，
則$k≥\frac{1}{2e-1}$，
故答案為：$k≥\frac{1}{2e-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合基本不等式以及求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力．