Question

（2006•廣州二模）長(zhǎng)度為a（a＞0）的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)P在線段AB上，且

AP

=λ

PB

（λ為常數(shù)且λ＞0）．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程C；
（Ⅱ）當(dāng)a=λ+1時(shí)，過(guò)點(diǎn)M（1，0）作兩條互相垂直的直線l₁和l₂，l₁和l₂分別與曲線C相交于點(diǎn)N和Q（都異于點(diǎn)M），試問(wèn)：△MNQ能不能是等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個(gè)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）欲求點(diǎn)P的軌跡方程，設(shè)點(diǎn)P（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，由題意知點(diǎn)P滿足于

AP

=λ

PB

得到一個(gè)關(guān)系式，再結(jié)合線段AB的長(zhǎng)度為a（a＞0），化簡(jiǎn)即得點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=1+λ時(shí)，曲線C的方程為x2+

y2

λ2

=1．依題意，直線l₁和l₂均不可能與坐標(biāo)軸平行，故不妨設(shè)直線l₁：x=my+1（m＞0），直線l2：x=-

1

m

y+1，與曲線方程聯(lián)立，可求|MN|，|MQ|，若△MNQ是等腰三角形，則|MN|=|MQ|，由此可得（m-1）[m²+（1-λ²）m+1]=0，即m=1或m²+（1-λ²）m+1=0．討論方程m²+（1-λ²）m+1=0的根的情形，即可得到滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y）、A（x₀，0）、B（0，y₀），則

AP

=λ

PB

⇒

x-x0=-λx y=λ(y0-y)

⇒

x0=(1+λ)x y0= 1+λ λ y

，
由此及|AB|=a⇒

x

2 0

+

y

2 0

=a2得[(1+λ)x]2+[(

1+λ

λ

)y]2=a2，
即x2+

y2

λ2

=(

a

1+λ

)2；
（Ⅱ）當(dāng)a=1+λ時(shí)，曲線C的方程為x2+

y2

λ2

=1．
依題意，直線l₁和l₂均不可能與坐標(biāo)軸平行，故不妨設(shè)直線l₁：x=my+1（m＞0），直線l2：x=-

1

m

y+1，從而有

x=my+1 x2+ y2 λ2 =1

⇒(λ2m2+1)y2+2λ2my=0⇒|MN|=

1+m2

•

△

|a|

=

2λ2m 1+m2

λ2m2+1

．
同理，有|MQ|=

2λ2 1+m2

λ2+m2

．
若△MNQ是等腰三角形，則|MN|=|MQ|，由此可得（m-1）[m²+（1-λ²）m+1]=0，即m=1或m²+（1-λ²）m+1=0．
下面討論方程m²+（1-λ²）m+1=0的根的情形（△=（λ²+1）（λ²-3））：
①若0＜λ＜

3

，則△＜0，方程沒(méi)有實(shí)根；
②若λ=

3

，則△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根m=1；
③若λ＞

3

，則△＞0，方程有兩個(gè)相異的正實(shí)根，且均不等于1（因?yàn)?²+（1-λ²）•1+1=3-λ²≠0）．
綜上所述，△MNQ能是等腰三角形：當(dāng)0＜λ≤

3

時(shí)，這樣的三角形有且僅有一個(gè)；當(dāng)λ＞

3

時(shí)，這樣的三角形有且僅有三個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是軌跡方程，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是將直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用方程根的討論，確定滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)．