Question

（2013•無(wú)為縣模擬）已知函數(shù)f（x）=

x

ex

，g（x）=

(2-x)ex

e2

（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），求證：f（x₁）＞f（2-x₂）．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)即可求出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f（x）-g（x）的最小值大于0即可；
（3）利用（1）的結(jié)論和已知條件得出x₁＜1＜x₂，即可證明．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x

ex

，∴f′(x)=

1-x

ex

，
令f^′（x）=0，解得x=1．
列表如下：
由表格可知：當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值且f（1）=

1

e

．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=

x

ex

-

(2-x)ex

e2

，
則h^′（x）=

1-x

ex

-

(1-x)ex

e2

=

(1-x)(e2-e2x)

ex+2

．
當(dāng)x＞1時(shí)，e^x+2＞0，1-x＜0，2x＞2，可得e²-e^2x＜0，
∴h^′（x）＞0，即函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）＞h（1）=0，
故當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞g（x）．
（3）∵f（x）在（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，如圖所示．
∴當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，且f（x₁）=f（x₂）時(shí)，x₁、x₂不可能在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)．
∴必有x₁＜1＜x₂．
則f（x₁）-f（2-x₂）=f（x₂）-f（2-x₂）=

x2

ex2

-

2-x2

e2-x2

=

x2

ex2

-

(2-x2)ex2

e2

=f（x₂）-g（x₂）
由（2）可知：f（x₂）＞g（x₂）．
∴f（x₁）-f（2-x₂）＞0，即f（x₁）＞f（2-x₂）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值是解題的關(guān)鍵．