Question

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)為f'（x），滿足兩個條件：①對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy成立；②f'（0）=2．
（1）求函數(shù)的f（x）的表達式；
（2）對任意x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．

Answer 1

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），
令x=y=0，得f（0）=0．將f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy中x固定，對y求導，
得f′（x+y）•（x+y）′=f′（y）+2x，令y=0得：f′（x）•1=f′（0）+2x，
∴f′（x）=2x+2，設(shè)f（x）=x²+2x+c．又f（0）=0，∴c=0．
∴f（x）=x²+2x．…（6分）
（2）|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₂²）+2（x₁-x₂）|
=|x₁-x₂||x₁+x₂+2|≤|x₁-x₂|||x₁|+|x₂|+2|≤|x₁-x₂|（1+1+2）=4|x₁-x₂|．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．…（10分）
分析：（1）令x=y=0，求出f（0），將f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy中x固定，對y求導，令y=0得f′（x）=2x+2，從而求出函數(shù)的f（x）的表達式；
（2）將函數(shù)解析式代入可得|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₂²）+2（x₁-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂+2|≤|x₁-x₂|||x₁|+|x₂|+2|≤|x₁-x₂|（1+1+2）=4|x₁-x₂|，即可得到結(jié)論．
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，同時考查了已知導函數(shù)求原函數(shù)和絕對值不等式的運用，屬于中檔題．