Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線(xiàn)與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)．求直線(xiàn)的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助，即可求出橢圓的方程；

（Ⅱ）利用直線(xiàn)與圓相切，得到，設(shè)出直線(xiàn)的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)，求出直線(xiàn)的斜率，從而得解.

（Ⅰ）橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，

，

由，得，

又由，得，

所以，橢圓的方程為；

（Ⅱ）直線(xiàn)與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，所以，

根據(jù)題意可知，直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率均存在，

設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，即，

，消去，可得，解得或.

將代入，得，

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，直線(xiàn)的斜率為，

又因?yàn)?/span>，所以，

整理得，解得或.

所以，直線(xiàn)的方程為或.