Question

已知a＞0，且a≠1，函數(shù)y=a^x-1與y=log_a（x+1）的圖象分別恒過定點A，B，過點A的直線l₁與過點B的直線l₂垂直相交于點Q，則點Q的軌跡方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：由y=a^x-1與y=log_a（x+1）的圖象分別恒過定點A，B，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出A和B的坐標，若過點A的直線l₁的斜率為k（k存在且不為0），利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1表示出過點B的直線l₂的斜率，進而表示出兩直線方程，聯(lián)立兩方程，消去k，即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；若過點A的直線l₁的斜率不存在，求出此時Q的坐標為（1，0），代入y與x的關(guān)系式滿足，綜上得到點Q的軌跡方程．
解答：解：由函數(shù)y=a^x-1與y=log_a（x+1）的圖象分別恒過定點A，B，
可得A（1，1），B（0，0），
若過點A的直線l₁的斜率存在，設為k（k≠0），直線l₂垂直的斜率為-，
可得直線l₁的解析式為：y-1=k（x-1），直線l₂解析式為：y=-x，
聯(lián)立兩解析式，解得：，
消去k得到x²-x+y²-y=0；
若過點A的直線l₁的斜率不存在，此時Q（1，0），代入滿足x²-x+y²-y=0，
綜上，點Q的軌跡方程為x²-x+y²-y=0或（x-）²+（y-）²=．
故答案為：x²-x+y²-y=0或（x-）²+（y-）²=
點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：動點的軌跡方程，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的特殊點，兩直線垂直時斜率的關(guān)系，以及直線的點斜式方程，是一道綜合性較強的試題．