Question

一棟n層大樓，各層均可召集n個人開會，現(xiàn)每層指定一人到第k層開會，為使n位開會人員上下樓梯所走路程總和最短，則k應�。ā　。�

• A．

  1

  2

  n
• B．n為奇數(shù)時，k=

  1

  2

  （n+1），n為偶數(shù)時k=

  1

  2

  n或

  1

  2

  n+1
• C．

  1

  2

  （n+1）
• D．n為奇數(shù)時，k=

  1

  2

  （n-1），n為偶數(shù)時k=

  1

  2

  n

Answer 1

分析：設每走一層樓梯的路程為a，則n位開會人員上下樓梯所走路程總和S=a（1+2+…+k-1）+0+a[1+2+…+（n-k）]，利用等差數(shù)列求和公式化簡整理，得S=a[k2-(n+1)k+

1

2

(n2+n)]，最后結合二次函數(shù)的圖象與性質，討論可得正確答案．

解答：解：設每走一層樓梯的路程為a，n位開會人員上下樓梯所走路程總和為S，則
S=a（1+2+…+k-1）+0+a[1+2+…+（n-k）]
=a•

(k-1)•k

2

+a•

(n-k)•(n-k+1)

2

=a[k2-(n+1)k+

1

2

(n2+n)]
∵二次函數(shù)F（k）=k2-(n+1)k+

1

2

(n2+n)圖象關于直線k=

n+1

2

對稱，（k∈Z）
∴當n為奇數(shù)時，k=

n+1

2

時，S達最��；當n為偶數(shù)時，取k=

n

2

，或k=

n

2

+1時，S達最大．
故選B

點評：本題以一個實際問題為例，求走樓梯的路程總和最短時相應的k值，著重考查了等差數(shù)列的求和公式、二次函數(shù)的圖象與性質和進行簡單的合情推理等知識，屬于基礎題．