Question

【題目】某冰糖橙，甜橙的一種，云南著名特產(chǎn)，以味甜皮薄著稱。該橙按照等級可分為四類：珍品、特級、優(yōu)級和一級（每箱有5kg）,某采購商打算訂購一批橙子銷往省外，并從采購的這批橙子中隨機(jī)抽取100箱，利用橙子的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下表：

等級	珍品	特級	優(yōu)級	一級
箱數(shù)	40	30	10	20

（1）若將頻率改為概率，從這100箱橙子中有放回地隨機(jī)抽取4箱，求恰好抽到2箱是一級品的概率：

（2）利用樣本估計總體，莊園老板提出兩種購銷方案供采購商參考：

方案一：不分等級賣出，價格為27元/kg;

方案二：分等級賣出，分等級的橙子價格如下：

等級	珍品	特級	優(yōu)級	一級
售價（元/kg）	36	30	24	18

從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？

（3）用分層抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機(jī)抽取3箱，X表示抽取的是珍品等級，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

Answer 1

【答案】（1）（2）從采購商的角度考慮應(yīng)該采用方案一，詳見解析（3）詳見解析

【解析】

（1）若將頻率改為概率，因為是有放回抽取，所以先求出“從這100箱橙子中隨機(jī)抽取一箱，抽到一級品的橙子”的概率，然后推出恰好抽到2箱是一級品的概率。

（2）求出方案二單價的數(shù)學(xué)期望和27進(jìn)行大小比較即可。

（3）分層抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，求出珍品和非珍品的箱數(shù)，根據(jù)排列組合知識求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而寫出分布列，求出期望即可。

解：（1）設(shè)“從這100箱橙子中隨機(jī)抽取一箱，抽到一級品的橙子”為事件A，

則

現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4箱，設(shè)抽到一級品的個數(shù)為，

則，

所以恰好抽到2箱是一級品的概率為

（2）設(shè)方案二的單價為，則單價的期望為（）

因為，

所以從采購商的角度考慮應(yīng)該采用方案一

（3）用分層抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，則現(xiàn)從中抽取3箱，則珍品等級的數(shù)量X服從超幾何分布，

則X的所有可能取值分別為0，1，2，3，

X的分布列為

X	0	1	2	3
P