Question

已知函數(shù)f（x）=

a

3

x3-

3

2

x2+（a+1）x+1，其中a為實數(shù)；
（1）當a=1時，試討論函數(shù)g（x）=f（x）-m的零點的個數(shù)；
（2）已知不等式f'（x）＞x²-x-a+1對任意a∈（0，+∞）都成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再判斷m數(shù)極值的關(guān)系得打函數(shù)的零點的個數(shù)；
（2）由題意得到a（x²+2）-x²-2x＞0，對任意a∈（0，+∞）都成立，構(gòu)造函數(shù)g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），得到不等式，解得即可．

解答： （1）當a=1時，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+1，f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）
由f'（x）=0得  x=1，x=2

x范圍	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	取極大值	遞減	取極小值	遞增

由上表知：f（x）_極大值=f（1）=

11

6

，f（x）_極小值=f（2）=

5

3

，
故當m＞

11

6

或m＜

5

3

時，函數(shù)g（x）有1個零點；
當m=

11

6

或m=

5

3

時，函數(shù)g（x）有2個零點；
當

5

3

＜m＜

11

6

時，函數(shù)g（x）有3個零點；
（2）由題設(shè)知：f′（x）=ax²-3x+（a+1），
∵不等式f'（x）＞x²-x-a+1對任意a∈（0，+∞）都成立，
∴ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1
即a（x²+2）-x²-2x＞0，
∴g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），g（a）為單調(diào)增函數(shù)
所以，對任意的a∈（0，+∞），g（a）＞0恒成立的充分必要條件是g（0）≥0，
即-x²-2x≥0，
∴-2≤x≤0，
故x的取值范圍是[-2，0]

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，以及零點的個數(shù)問題，以及不等式的解法，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．