Question

設(shè)橢圓=1的兩焦點為F₁、F₂，長軸兩端點為A₁、A₂．
（1）P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積；
（2）若橢圓上存在一點Q，使∠A₁QA₂=120°，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵|F₁F₂|=2c．
設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則根據(jù)橢圓的定義可得：t₁+t₂=2a①，
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
所以根據(jù)余弦定理可得：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4c²②，
由①²-②得t₁•t₂=（4a²-4c²），
所以：．
所以△F₁PF₂的面積．
（2）由對稱性不防設(shè)Q在x軸上方，坐標為（x₀，y₀），
則tanA₁QA₂==-，即
整理得 =-，①
∵Q在橢圓上，
∴，代入①得y₀=，
∵0＜y₀≤b
∴0＜≤b，化簡整理得3e⁴+4e²-4≥0，
解得 ≤e＜1．
分析：（1）先根據(jù)橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設(shè)出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解．
（2）由對稱性不妨設(shè)Q在x軸上方，坐標為（x₀，y₀），進而可表示出tanA₁QA₂整理出關(guān)于x₀和y₀的關(guān)系式，同時把Q點代入橢圓方程，表示出y₀進而根據(jù)y₀的范圍確定a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的范圍．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質(zhì)，以及熟練掌握解三角形的有關(guān)知識，涉及了直線的斜率和基本不等式等知識，難度不大但計算較繁瑣，考查了學生的運算能力．