Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_2}x}|，0＜x≤2\\ \frac{1}{3}{x^2}-\frac{8}{3}x+5，x＞2\end{array}$，若a，b，c，d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則a+b+c+d的取值范圍為$（{10，\frac{21}{2}}）$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)a＜b＜c，作出f（x）的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸可得a+d=8，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域可得2＜a+b＜$\frac{5}{2}$，進(jìn)而可求得答案．

解答 解：不妨設(shè)a＜b＜c＜d，
作出f（x）的圖象，如圖所示：
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）的對(duì)稱軸為x=4，
∵c與d關(guān)于x=4對(duì)稱，
∴a+d=8，
由圖象可知0＜a＜1＜b＜2，
當(dāng)|log₂x|=1，解得x=$\frac{1}{2}$或x=2，
∴2＜a+b＜$\frac{5}{2}$，
∴10＜a+b+c+d＜$\frac{21}{2}$
故答案為：$（{10，\frac{21}{2}}）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．