Question

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以弦為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，試探討點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.

已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì),恒成立，

求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意    ， 

所求橢圓方程為．

（2）設(shè)，．

①當(dāng)軸時(shí)，設(shè)方程為：，此時(shí)兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

又以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，設(shè)代人橢圓方程得：

②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，

整理得，

，．

又。

由以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則有。 即：  故滿足：    得：  

所以=。又點(diǎn)到直線的距離為： 。

綜上所述：點(diǎn)到直線的距離為定值。