已知函數(shù)f(x)=px-
p
x
-lnx
,g(x)=lnx-
P
x
(1+
e2-2e
P2
)
,其中無理數(shù)e=2.17828….
(Ⅰ)若P=0,求證:f(x)>1-x;
(Ⅱ)若在其定義域內(nèi)f(x)是單調(diào)函數(shù),求P的取值范圍;
(Ⅲ)對于區(qū)間(1,2)中的任意常數(shù)P,是否存在x0>0,使f(x0)≤g(x0)成立?若存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由.
分析:(Ⅰ)若P=0,要證f(x)>1-x;即可轉(zhuǎn)化為lnx-x+1>0在定義域內(nèi)恒成立即可.在通過求導,研究其單調(diào)性,看函數(shù)的最小值,只要函數(shù)的最小值大于0即可.
(Ⅱ)若在其定義域內(nèi)f(x)是單調(diào)函數(shù),求P的取值范圍;先要明確定義域;在求導,求導后,只要滿足導數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可.在這里要注意對參數(shù)p進行討論.
(Ⅲ)對于區(qū)間(1,2)中的任意常數(shù)P,是否存在x0>0,使f(x0)≤g(x0)成立,這種題型屬探索性問題;解決的關鍵在于弄懂題意.據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為:令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+
e2-2e
px
,則問題等價于找一個x0>0使F(x)≤0成立,
故只需滿足函數(shù)的最小值F(x)min≤0即可.
解答:解:(Ⅰ)證明:當p=0時,f(x)=-lnx.
令m(x)=lnx-x+1,則m′(x)=
1
x
-1=
1-x
x

若0<x<1,m′(x)>0,m(x)遞增;
若x>1,m′(x)<0,m(x)遞減,
則x=1是m(x)的極(最)大值點.
于是m(x)≤m(1)=0,即lnx-x+1≤0.
故當p=0時,有f(x)≥1-x;(4分)
(Ⅱ)解:對f(x)=px-
p
x
-lnx
求導,
f′(x)=p+
p
x2
-
1
x
=
px2-x+p
x2

①若p=0,f′(x)=-
1
x
<0

則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故p=0合題意.
②若p>0,h(x)=px2-x+p=p(x-
1
2p
)2+p-
1
4p
≥p-
1
4p

則必須p-
1
4p
≥0,f′(x)≥0
,
故當p≥
1
2
時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
③若p<0,h(x)的對稱軸x=
1
2p
<0

則必須h(0)≤0,f′(x)≤0,
故當p<0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
綜合上述,p的取值范圍是(-∞,0]∪[
1
2
,+∞)
;
(Ⅲ)解:令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+
e2-2e
px

則問題等價于找一個x0>0使F(x)≤0成立,
故只需滿足函數(shù)的最小值F(x)min≤0即可.
F′(x)=p-
2
x
-
e2-2e
px2
=
(px-e)(px-2+e)
px2
=
p
x2
(x-
e
p
)(x-
2-e
p
)
,
x>0,1<p<2,
e
p
2
p
>0,
2-e
p
<0
,
故當0<x<
e
p
時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)遞減;
x>
e
p
時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增.
于是,F(x)min=F(
e
p
)=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-4>0

與上述要求F(x)min≤0相矛盾,故不存在符合條件的x0
點評:(1)若在其定義域內(nèi)f(x)是單調(diào)函數(shù),求參數(shù)的取值范圍;先要明確定義域;在求導,求導后,只要滿足導數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可.這是通性通法.
(2)對于區(qū)間任意給定的某區(qū)間,某代數(shù)式恒成立問題,解決的關鍵在于弄懂題意.據(jù)題意一般可可轉(zhuǎn)化為構造一個函數(shù),求滿足函數(shù)的最小值或者函數(shù)的最大值即可.
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已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
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(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達式和切線l的方程;
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1
e
,e]
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-x3+x2+bx+c
 ,(x<1)
alnx
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1
2
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2(x-1)
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tx
(x>0)
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3
x
1-x
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1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標原點).
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,n≥2令an=
1
6
,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.
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3
an+1)
,且a1=
1
a-1
?若存在,求出a滿足的條件;若不存在,請說明理由.

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