Question

側(cè)棱垂直底面的棱柱叫直棱柱．已知底面是菱形的直棱柱，它的體對角線分別為9和15，高是5，求這個棱柱的側(cè)面積．

Answer 1

分析：根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)算出底面菱形的兩條對角線分別為AC=10

2

，BD=2

14

，再由菱形的性質(zhì)算出底面邊長為直角邊分別是

1

2

AC和

1

2

BD的斜邊，利用勾股定理算出底面邊長為8，由此即可得出這個棱柱的側(cè)面積．

解答：解：如圖，底面是菱形的直棱柱ABCD-A'B'C'D'中，
兩條對角線長為A'C=15cm，BD'=9cm，側(cè)棱長為AA'=DD'=5cm，
∵△BDD'和△ACA'都是直角三角形，
∴由勾股定理，得AC²=15²-5²=200，BD²=9²-5²=56，
可得AC=

200

=10

2

，BD=

56

=2

14

∵AC、BD分別是菱形ABCD的兩條對角線，
∴AC、BD互相垂直平分，把菱形分成全等的四個直角三角形，
兩條直角邊分別是

1

2

AC=5

2

和

1

2

BD=

14

，
由勾股定理，得斜邊長AB=

(5 2 )2+( 14 )2

=8．
∴該棱柱的側(cè)面積S=4×8×5=160．

點評：本題給出底面為菱形的直棱柱，在已知對角線長和高的情況下求側(cè)面積，著重考查了線面垂直的性質(zhì)、直棱柱的結(jié)構(gòu)和菱形的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．