Question

函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設，證明：.

Answer 1

（1）（1）當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）當時,在上是增函數(shù)；（iii）當時，在是上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）詳見試題分析．

試題分析：（1）首先求函數(shù)的定義域，的導數(shù)：，再分，，三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）先在（1）的基礎上，當時，由的單調(diào)性得．同理當時，由的單調(diào)性得．下面再用數(shù)學歸納法證明．
（1）的定義域為．
（1）當時，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)．
（2）當時,成立當且僅當在上是增函數(shù)．
（iii）當時，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)．
（2）由（1）知，當時，在是增函數(shù)．當時，，即．又由（1）知，當時，在上是減函數(shù)；當時，，即．下面用數(shù)學歸納法證明．
（1）當時，由已知，故結論成立；
（2）假設當時結論成立，即．當時，，即當時有，結論成立．根據(jù)（1）、（2）知對任何結論都成立．