Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，有下列命題：
①其圖象關(guān)于y軸對稱；
②f（x）的最小值是lg2；
③（-1，0）是f（x）的一個遞增區(qū)間；
④f（x）沒有最大值．
其中正確的是

①②③④

（將正確的命題序號都填上）．

Answer 1

分析：利用基本不等式，可得當(dāng)x=±1時，t=

x2+1

|x|

達(dá)到最小值2．由此進(jìn)行分析：根據(jù)奇偶性的定義證出f（x）在其定義域上為偶函數(shù)，故①正確；由真數(shù)對應(yīng)的函數(shù)最小值為2，可得f（x）=lgt的最小值是lg2，得②正確；根據(jù)在（-∞，0）上，真數(shù)t=

x2+1

|x|

在x=-1時有最小值，得（-1，0）是f（x）的一個增區(qū)間，得③正確；根據(jù)真數(shù)的值沒有最大值，得到④正確．由此可得本題答案．

解答：解：設(shè)t=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，
則|x|+

1

|x|

≥2

|x|• 1 |x|

=2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1時，等號成立
∴當(dāng)x=±1時，t達(dá)到最小值2
對于①，由于f（-x）=lg

(-x)2+1

|-x|

=lg

x2+1

|x|

=f（x）
∴函數(shù)f（x）在其定義域上為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于y軸對稱，得①正確；
對于②，因?yàn)閠=

x2+1

|x|

的最小值為2，底數(shù)10是大于1的數(shù)
∴f（x）=lgt的最小值是lg2，故②正確；
對于③，在（-∞，0）上，函數(shù)t=

x2+1

|x|

在x=-1時有最小值
故在（-1，0）上t為關(guān)于x的增函數(shù)，
可得函數(shù)f（x）=lgt也是在（-1，0）上的增函數(shù)，得③正確；
對于④，由于t=

x2+1

|x|

沒有最大值，
可得函數(shù)f（x）=lgt也沒有最大值，故④正確．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評：本題給出含有分式的對數(shù)型函數(shù)，求它的單調(diào)性、奇偶性與最值．著重考查了利用基本不等式求最值、函數(shù)的簡單性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．