Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-a|（a∈R）．
（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）圖象的性質(zhì)可知，當(dāng)$a+2=\frac{3}{2}a$時(shí)，$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）+a≥0恒成立，
當(dāng)a＜0時(shí)，要保證f（x）≥-a恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a，解得a≥-1，∴0＞a≥-1
綜上所述，a≥-1．（5分）
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）圖象的性質(zhì)可知，當(dāng)$a+2=\frac{3}{2}a$時(shí)，$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立，即a=4，

所以a的取值范圍是（-∞，4]時(shí)$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查不等式的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到絕對(duì)值不等式及不等式證明等內(nèi)容．本小題重點(diǎn)考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想．