Question

若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=

3n2+n

2

（n∈N^*）；
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，是否存在實數(shù)M，使得M≥T_n對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列的前n項和,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）通過已知條件，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求解數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）化簡

1

anan+1

，利用裂項法求解數(shù)列的前n項和為T_n，利用放縮法求出使得M≥T_n對一切正整數(shù)都成立的M的最小值即可．

解答： 滿分（14分）．
解：（Ⅰ）由題Sn=

3n2+n

2

(n∈N*)，
n≥2時Sn-1=

3(n-1)2+n-1

2

…（2分）
所以an=Sn-Sn-1=

3n2+n

2

-

3(n-1)2+n-1

2

=3n-1，…（5分）
n=1時a₁=S₁=2也適合上式，…（6分）
所以  a_n=3n-1（n∈N^*）…（7分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ）a_n=3n-1（n∈N^*）
所以

1

anan+1

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)…（9分）
Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

1

3

[(

1

2

-

1

5

)+(

1

5

-

1

8

)+(

1

8

-

1

11

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n+2

)]…（10分）
=

1

3

(

1

2

-

1

3n+2

)＜

1

6

…（12分）
使得M≥T_n對一切正整數(shù)都成立，即M≥

1

6

故存在M的最小值

1

6

．…（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，考查等差數(shù)列通項公式，前項和公式，以及裂項求和，及放縮法證明不等式．