Question

設函數f（x）=log_a（3-2x-x²），其中a＞0，且a≠1．
（1）當a=

1

2

時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[-1-

2

，-1+

2

]上的最大值與最小值之差為2，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）的定義域，然后f（x）可分解為u=3-2x-x2，y=log

1

2

u，根據復合函數單調性的判斷方法可求得f（x）的增區(qū)間，注意增區(qū)間為定義域的子集；
（2）由-1-

2

≤x≤-1+

2

，及u=-（x+1）²+4可求得u的范圍，然后分a＞1，0＜a＜1兩種情況進行討論，根據對數函數的單調性可求得f（x）的最大值、最小值，根據最大值與最小值之差為2可得a的方程，解出即可；

解答：解：由3-2x-x²＞0，解得-3＜x＜1，即f（x）的定義域為（-3，1）．
（1）當a=

1

2

時，f(x)=log

1

2

(3-2x-x2)．
令u=3-2x-x2，y=log

1

2

u．
∵u=-（x+1）²+4，∴其圖象的對稱軸為x=-1，
∴u=3-2x-x²在區(qū)間[-1，1）上是減函數，
又∵y=log

1

2

u是減函數，
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[-1，1）．
（2）∵-1-

2

≤x≤-1+

2

，且u=-（x+1）²+4，
∴2≤u≤4．
①當a＞1時，f（x）在[-1-

2

，-1+

2

]上的最大值與最小值分別為log_a4，log_a2，
則log_a4-log_a2=2，解得a=

2

；
②當0＜a＜1時，f（x）在[-1-

2

，-1+

2

]上的最大值與最小值分別為log_a2，log_a4，
則log_a2-log_a4=2，解得a=

2

2

．

點評：本題考查復合函數單調性的判斷、對數函數和二次函數的單調性及其應用，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．