Question

已知函數f（x）滿足對任意實數a，b，有f（

a+2b

3

）=

f(a)+2f(b)

3

，且f（1）=1，f（4）=7，則f（2014）=

 

．

Answer 1

考點：函數的值

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由條件令a=4，b=1，得f（2）=3，令a=1，b=4，得f（3）=5，猜想：f（n）=2n-1（n∈N*）．再由數學歸納法證明，即可求出f（2014）的值．

解答： 解：∵函數f（x）滿足對任意實數a，b，有f（

a+2b

3

）=

f(a)+2f(b)

3

，
∴由f（1）=1，f（4）=7，
令a=4，b=1，得f（2）=

f(4)+2f(1)

3

=3，
令a=1，b=4，得f（3）=

f(1)+2f(4)

3

=5，
猜想：f（n）=2n-1（n∈N^*）．①
證明：當n=1，2，3，4時①成立．
假設n≤k（k＞4且k為整數），①都成立．
令a=k-2，b=k+1，得f（k）=

f(k-2)+2f(k+1)

3

，
∴f（k+1）=

3f(k)-f(k-2)

2

=

3(2k-1)-2(k-2)+1

2

=2（k+1）-1，
即對n=k+1．f（k+1）=2（k+1）-1成立．
∴對任意正整數n，f（n）=2n-1（n∈N^*）都成立．
∴f（2014）=2×2014-1=4027．
故答案為：4027．

點評：本題考查抽象函數及運用，考查賦值法的運用，同時考查運用數學歸納法證明與n有關的命題，屬于中檔題．