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（理）已知函數f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程f（x）+2x=x²+b在 $數學公式$ 上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍．

解：（1）f′（x）=1- $\text{[math]}$ ，
∵函數f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值
∴f′（1）=0，∴a=0
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，∴f（x）+2x=x²+b
∴x-lnx+2x=x²+b，∴x²-3x+lnx+b=0
設g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），則g′（x）= $\text{[math]}$
當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表

x	（0， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，1）	1	（1，2）	2
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗	b-2+ln2

∴當x=1時，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（ $\text{[math]}$ ）=b- $\text{[math]}$ -ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[ $\text{[math]}$ ，2]上恰有兩個不相等的實數根
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ +ln2≤b≤2
分析：（1）先求出函數的導函數，然后根據在某點取極值的意義可知f′（1）=0，解之即可；
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，故x²-3x+lnx+b=0，設g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），研究當x變化時，g（x），g（x）的變化情況，確定函數的最值，從而可建立不等式，即可求得結論．
點評：本題主要考查函數的極值以及根的存在性及根的個數判斷，同時考查了利用構造函數法證明不等式，是一道綜合題，有一定的難度

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（理）已知函數f（x）=αx³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）為奇函數，且在f′（x）_min=-1（x∈R），

lim

x→0

f(3+x)-f(3)

=8．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）的圖象與函數m（x）=nx²-2x的圖象有三個不同的交點，且都在y軸的右方，求實數n的取值范圍；
（3）若g（x）與f（x）的表達式相同，是否存在區(qū)間[a，b]，使得函數g（x）的定義域和值域都是[a，b]，若存在，求出滿足條件的一個區(qū)間[a，b]；若不存在，說明理由．

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