Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，證明的圖象與軸相切；

（2）當時，證明存在兩個零點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求導，再設切點，求出切點坐標，即可證明，

（2）分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，即可證明.

證明：（1）當a＝1時，f（x）＝（x﹣2）lnx+x﹣1．

∴f′（x）＝lnx++1，

若f（x）與x軸相切，切點為（x0，0），

∴f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+x0﹣1＝0

f′（x0）＝lnx0++1＝0，

解得x0＝1或x0＝4（舍去）

∴x0＝1，

∴切點為（1，0），

故f（x）的圖象與x軸相切

（2）∵f（x）＝（x﹣2）lnx+ax﹣1＝0，

∴a＝﹣＝﹣lnx+，

設g（x）＝﹣lnx+，

∴g′（x）＝﹣﹣+＝，

令h（x）＝1﹣2x﹣2lnx

易知h（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，

∵h（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，

∴當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增，

當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減，

∴g（x）max＝g（1）＝1，

當x→0時，g（x）→﹣∞，當x→+∞時，g（x）→﹣∞，

∴當a＜1時，y＝g（x）與y＝a有兩個交點，

即當a＜1時，證明f（x）存在兩個零點