Question

已知函數f（x）=x³+ax²+b在x=1處的切線方程為y=x+1．
①求a，b的值；
②求函數f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]上的值域．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：①由題意先求f（x）的導函數，利用導數的幾何含義和切點的實質，建立a，b的方程求解即可；
②求f（x）的導函數，確定函數的單調性，即可求函數f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]上的值域．

解答： 解：①f′（x）=3x²+2ax，
∵函數f（x）在x=1處的切線方程為y=x+1，
∴f′（1）=3+2a=1，即a=1，
又f（1）=2，得2+b=2，∴b=0；
②由①知f（x）=x³+x²，f′（x）=3x²+2x，
∴函數在[-1，-

2

3

]，[0，

1

2

]上單調遞增，在[-

2

3

，0]上單調遞減，
∵f（-1）=f（0）=0，f（-

2

3

）=

4

27

，f（

1

2

）=

3

8

，
∴函數f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]上的值域為[0，

3

8

]．

點評：本題考查函數的性質，考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．