求證:二項(xiàng)式x2n-y2n (n∈N*)能被x+y整除.
證明略
(1)當(dāng)n=1時(shí),x2-y2=(x+y)(x-y),
能被x+y整除,命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),x2k-y2k能被x+y整除,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k
=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k
=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),
顯然x2k+2-y2k+2能被x+y整除,
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.
由(1)(2)知,對(duì)任意的正整數(shù)n命題均成立.
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