Question

4．當(dāng)實數(shù)x，y滿足x²+y²=1時，|x+2y+a|+|3-x-2y|的取值與x，y均無關(guān)，則實數(shù)a的取范圍是[$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)實數(shù)x，y滿足x²+y²=1，設(shè)x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范圍，再討論a的取值范圍，求出|x+2y+a|+|3-x-2y|的值與x，y均無關(guān)時a的取范圍．

解答 解：∵實數(shù)x，y滿足x²+y²=1，
可設(shè)x=cosθ，y=sinθ，
則x+2y=cosθ+2sinθ=$\sqrt{5}$sin（θ+α），其中α=arctan2；
∴-$\sqrt{5}$≤x+2y≤$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)a≥$\sqrt{5}$時，
|x+2y+a|+|3-x-2y|=（x+2y+a）+（3-x-2y）=a+3，其值與x，y均無關(guān)；
∴實數(shù)a的取范圍是[$\sqrt{5}$，+∞）．
故答案為：$[{\sqrt{5}}\right.，+∞）$．

點評 本題考查了圓的方程以及絕對值的定義與應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．