解:(Ⅰ)若a=3,b=l,則f(x)=x
3-3x
2+x,∴f′(x)=3x
2-6x+1
∴f′(1)=3×1
2-6+1=-2,f(1)=-1
∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1;
(Ⅱ)∵b=a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/395.png)
,∴f(x)=x
3-ax
2+(a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/395.png)
)x,∴f′(x)=3x
2-2ax+a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/395.png)
∵函數(shù)f(x)在(1,+∞)上既能取到極大值又能取到極小值,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/62867.png)
,∴5<a<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9483.png)
;
(Ⅲ)若b=0,則f(x)=x
2(x-a)
∴不等式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/62866.png)
1nx+1≥0對任意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/43198.png)
恒成立,可化為x-lnx+1≥a對任意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/43198.png)
恒成立,
設(shè)g(x)=x-lnx+1,則g′(x)=1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/474.png)
令g′(x)<0,∵x≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,∴可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/62868.png)
;g′(x)>0,∵x≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,∴可得x>1
∴g(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/624.png)
上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增
∴g(x)的最小值為g(1)=2
∴a≤2.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),確定切線的斜率,切點(diǎn)的坐標(biāo),即可求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)f(x)在(1,+∞)上既能取到極大值又能取到極小值,建立不等式,即可求a的取值范圍;
(Ⅲ)不等式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/62866.png)
1nx+1≥0對任意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/43198.png)
恒成立,可化為x-lnx+1≥a對任意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/43198.png)
恒成立,確定左邊的最小值,即可求得a的取值范圍.
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的極值,考查恒成立問題,確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵.