Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（a，0），B（0，b）的直線傾斜角為

5π

6

，原點(diǎn)到該直線的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過點(diǎn)D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知

b

a

=

3

3

，

1

2

ab=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，能求出橢圓方程．
（2）將y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，得（3k²+1）x²+12kx+9=0．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ為直徑的圓過D（1，0），則（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，由此能推導(dǎo)出存在k=-

7

6

滿足題意．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（a，0），B（0，b）的直線傾斜角為

5π

6

，
原點(diǎn)到該直線的距離為

3

2

，
∴

b

a

=

3

3

，

1

2

ab=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，
解得a=

3

，b=1，
∴橢圓方程是

x2

3

+y2=1．
（2）將y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ為直徑的圓過D（1，0）
則PD⊥QD，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
得（k²+x）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5=0，
又x1x2=

9

3k2+1

，x1+x2=-

12k

3k2+1

，
代上式，得k=-

7

6

，
∵此方程中，△=144k²-36（3k²+1）＞0，∴k＞1，或k＜-1．
∴存在k=-

7

6

滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，探索滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．